beräkna matrisen för ortogonal proj. på plan z=0 hej! jag har en uppgift där jag skall hitta matrisen för den ortogonala projektionen på planet z=0. jag har använt mig av hur standardvektorerna beter sig dvs F(e1) osv. men facit säger det ska va 1 0 0 0 1 0 0 0 Beräkna matrisen till den ortogonala projektionen P på planet som går igenom punkterna 2 2,0, - , 31-3 och 1,2, - . Låt D vara kvadraten som spänns upp av vektorerna 0 10, och . Under projektionen avbildas kvadraten på en parallellogram. Vad är dess area? Svar: a.e.«Den sökta matrisen är » » » » » ¼ º « « « « ¬ ª 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 Med satsens beteckningar får vi då. Satsen ger då att vilket ger. F = (1,0,1)-0.5 (-5,-2,3)=0.5 (7,2,-1) Kommentar: Antag att och är två riktningsvektorer i ett plan och att man vill undersöka om en given vektor ( ) är en normal till planet. Det räcker då att kontrollera att är ortogonal mot både och mot , dvs att
e)Beräkna den ortogonala projektionen av ~x= ( 5;3;1) på Wmed hjälp av formel (1). f)Låt nu de normaliserade basvektorerna utgör kolonnerna i matrisen A. Be-räkna A TAsamt AA . g)Beräkna den ortogonala projektionen av ~x= ( 5;3;1) på W genom att använda standardmatrisen för den ortogonala projektionen, AAT. Ortonormalabaser(ON-baser Bestäm den vridningsmatris (vridning omkring origo) som överför vektorn ¸¸ ¹ · ¨¨ © § 4 3 på vektorn ¸¸ ¹ · ¨¨ © § 0 5. 5. Beräkna matrisen till den ortogonala projektionen P på planet som går igenom punkterna 22,0, - 3, 21,- och , -3 . Låt D vara kvadraten som spänns upp av vektorerna 010, 0 och 01, . Under projektionen avbildas kvadraten på en parallellogram. Vad ä
Låt L vara en linje, Q en punkt och F den ortogonala projektionen av Q på L. Då är F den punkt på L som ligger närmast Q . I figuren är avståndet från Q till F kortare än avståndet från Q till en annan punkt F ' på linjen, eftersom hypotenusan i en rätvinklig triangel är längre än var och en av de båda katetrarna En ortogonalprojektion är inom linjär algebra en metod att bestämma en uppdelning av en vektor v {\displaystyle v} i en del som ligger i ett underrum och den del som är ortogonal mot underrummet. Även ortogonala projektioner kan uttryckas som avbildningar, men framställs ofta som en formel, projektionsformeln
beräkna projektionen av v ⃗ \vec{v} v på u ⃗ \vec{u} u. Lösning. Projektionen av v ⃗ \vec{v} v på u ⃗ \vec{u} u motsvarar p r o j u ⃗ (v ⃗) = (v ⃗ ⋅ u ⃗ ∥ u ⃗ ∥ 2) u ⃗ { proj }_{ \vec { u } }\left( \vec { v } \right) =\left( \frac { \vec { v } \cdot \vec { u } }{ { \left\| \vec { u } \right\| }^{ 2 } } \right) \vec { u } p r o j u (v) = (∥ u ∥ 2 v ⋅ u ) u Vi bestämmer först matrisen för projektionen. Om u′ är den ortogonala projektionen på planet och u′′ är den ortogonala projektionen på planets ortogonala komplement, så är u′ = u − u′′. Det ortogonala komplementet genereras av enhetsvektorn. e = (1/√30)(1,2,5) ORTOGONALA MATRISER ORTOGONALA MATRISER (kortare ON- matriser ) Definition 1. ( av en ortogonal matris) En kvadratisk matris kallas ortogonal om # Í L # ? 5 d v s om # Í # L # # L + Sats1 ( T 7.1.1 i kursboken) Följande påstående är ekvivalenta för en G R = @ N = P E O G #: a) A är en ortogonal matri sig. En enhetsnorml till planet ges av ~n = (1, 1, 1)/ p 3 och en-ligt projektionsformeln gäller därför att projektionen av vektorn ~u = (x1, x2, x3) på normalen till planet genom origo är vektorn ~u0 = (~u ~n)~n = 1 3 (x1 x2 x3)(1, 1, 1). Motsatt riktning med denna från punkten ger oss den ortogonala projektionen: ~u ~u0= (x1, x2, x3) där vi ser 1
Den oerhört viktiga observationen är att basen är en ortonormerad bas för V så gäller att s k = (uje k). Det betyder att vi kan skriva u = (uje1)e1 +. . . +(uje n)e. Denna formel är nyckeln till resten av detta kapitel. Den första tillämpningen är Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod med var hjälp man kan konstruera ortonormerade baser (förkorta Uppgift: Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen på planet 2x+4y+3z=0. För att börja själv har jag tagit fram normalen från planets ekvation: n=(2,4,3). Några tips på hur jag kan ta mig vidare ; Projektion och reflektion - Linjär Algebra - Lud . som har minimerats. För att kunna beräkna en ortogonal projektion behövs en ortogonal bas
ON-matriser, ortogonala matriser Om U ¨ar en n × n-matris vars kolonner bildar en ortonormerad bas, s˚a ¨ar Col(U) = Rn. Av sats 10 f¨oljer, att f¨or alla y ∈ Rn g¨aller y = projRn(y) = UUTy = I y, dvs UUT = I. Enligt sats 6 g¨aller ocks˚a UTU = I. Slutsats: UT = U−1 om U ¨ar en kvadratisk matris med orto-normerade kolonner Detta är alltså den punkt som ligger närmast P i planet. Annorlunda uttryckt, den är den ortogonala projektionen av P på planet p. Avståndet ifråga är helt enkelt j~u0j= 6 7 q (3)2 +22 +(1)2 = 6 p 14 7 = 12 p 14. Anmärkning Om vi tittar efter hur avståndet beräknas ovan ser vi att vi kan generalisera till att beräkna avståndet från en punkt P Exempel. Exempel på ortogonala matriser är: Alla enhetsmatriser.; Alla permutationsmatriser.; Egenskaper. En reell kvadratisk matris av storlek är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen = för någon diagonalmatris istället ser vi att matrisen har två oberoende kolonner och att sista kolonnvektor är beroende av de 2 första ( faktiskt parallell med första kolonn). Därför bildar första två kolonner en bas till im(A) . im(A) = span( 4 4 4, 1 0 2 1 , 1) = span( 0 2 1 , 1) Svar a) En bas B till im(A) består av vektorern
Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter. Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad Beräkna den ortogonala projektionen av vektorn . a =(1,2,1) Vi kan undersöka rangen till matrisen A=. W är väl egentligen rummet som genereras av den matris du anger. Gör bara som vanligt! Tänk på matriserna som vektorer. Dividera den matris B som genererar W med dess längd = <B,B> 1/2 så får du en matris e = B/||B|| av längden 1. Ortogonala projektionen A' av A på e är <A,e>e. Avståndet är längden av A - A'. 4 Kolonnrummet till en matris är samma som värdemängden till motsvarande avbildning, och för den ortogonala projektionen på π blir detta just planet π. En bas för kolonnrummet får vi därför genom att välja ut två icke-parallella vektorer i π, exempelvis (2,1,0) och (0,1,1). Svar: En ekvation är π :x−2y +2z =0, och A9 = 1 9 7 4 −4 4 1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Projektion av en vektor på ett underrum a proj W (v) = v n W PROJEKTION AV ENVEKTOR PÅ ETT UNDERRUM . I) Projektion av en vektor på en annan vektor . Definition 1. (Projektion av en vektor på en annan vektor ) Låt . v och . w vara två vektorer i R. n. Utrycket . w w w v w ⋅ ⋅ kallas ( ortogonal) projektion av . v p
Tack på förhand Tabellen visar en översikt av vad olika kartprojektioner innebär, till exempel egenskaper och användningsområden. Det finns också en sammanställning av kartprojektionerna (pdf; 4,0 MB), som innehåller ytterligare information om varje projektion b) Beräkna vinkelräta projektionen av v r på riktningen (1,3,5) Definition 1. ( Ortogonala vektorer i Rn) Vi säger att två vektorer . u v , är ortogonala om deras skalärprodukt är 0 dvs om u ⋅v =0 Definition 2. (Ortogonal mängd) Om vektorerna ⃗1⃗ är parvis ortogonala då säger vi att mängden { ⃗, , ⃗} är ortogonal. Uppgift1 Ortogonal projektion på plan. Uppgift: Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen på planet 2x+4y+3z=0. För att börja själv har jag tagit fram normalen från planets ekvation: n=(2,4,3). Några tips på hur jag kan ta mig vidare ; Pictures: orthogonal decomposition, orthogonal projection Sats om ortogonala matriser: Följande villkor är ekvivalenta för en n ⇥ n -matris P: 1. P är ortogonal, dvs P1 = PT 2. kP~xk = k~xk för alla ~x 3. (P~x) · (P~y)=~x · ~y för alla ~x, ~y 4. P:s kolonner utgör en ortonormal mängd vektorer (Detta är sats 6.2.5 i boken. Vi bevisade den i förra veckan!) En matris som uppfyller dessa.
Denna operatör lämnar u invariant, och den utplånar alla vektorer som är ortogonala till , vilket bevisar att det verkligen är den ortogonala projektionen på linjen som innehåller u. Ett enkelt sätt att se detta är att betrakta en godtycklig vektor som summan av en komponent på linjen (dvs. den projicerade vektorn vi söker) och en annan vinkelrät mot den M andagen den 9 januari 2012, klockan 14.00 Best am matrisen f or den ortogonala projektionen p a planet x+ 2y + 3z = 0. (4p) b) Best am projektionen av vektorn u = (1;1;1). (1p) 5.a) Best am egenv arden och en bas av egenvektorer till matrisen A = 1 2 4 3 : (3p) b) Best am matriser T, D och T 1 s a att A = TDT 1 6.2 f¨orklara vad som menas med en ortogonal matris. 6.3 till¨ampa sats 6.3.8 f ¨or att dela upp en vektor i ortogonala komponenter, en i W och den andra i W⊥ d˚a en ortogonal bas f¨or W ¨ar k ¨and. 6.4 till¨ampa Gram-Schmidt processen f ¨or att best ¨amma en ortogonal bas f ¨or ett underrum W i Rnutg˚aende fr˚an en annan bas f. a) Bestäm med MK-metoden den ortogonala projektionen \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} . b) Bestäm avståndet mellan punkten \displaystyle (2,3,6,2) och hyperplanet \displaystyle W . Svar Tips och lösning till a) Tips och lösning till b Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 3 3.6En normaliserad riktningsvektor för linjen ges av n = p1 1+k2 1 k. Om v Lär ortogonala projektionen av en vektor v på linjen så ges speglingen av v av v S= 2v L v. Dessutom gäller att
17.23. Den linj¨ara avbildningen F : R3 → R3 har i basen e = {e1,e2,e3} matrisen A = 0 1 2 5 −1 0 4 0 −2 . Best¨am bilden av u = e 2 −1 3 under F. Ange urbilden till v = 2e1 + 5e2 + 2e3 under F. 17.24. Best¨am matrisen till den linj ¨ara avbildningen F : R3 → R3 som i basen e = {e1,e2,e3} definieras geno Exempel :: Projektion till delrum Vi ska studera hur man kan projicera en vektor ned till ett tv˚adimensionellt delrum Exempel 1. Best¨am projektionen av vektorn u = (1,2,3) p˚a 1. det delrum W a som sp¨anns av vektorerna a 1 = (1,2,1) och a 2 = (1,−1,1). 2. det delrum W b som sp¨anns av vektorerna b 1 = (2,1,2) och b 2 = (1,1,1). 1
Bestam G:s matris i standard-basen. 3. (a) L˚at E vara ett euklidiskt rum och M ett delrum till E. Ge definitionen av det ortogonala komplementet till M. (b) Avg¨or om vektorn u = (1,1,1) tillh¨or det ortogonala komplementet till det linj¨ara h¨oljet av vektorerna v1 = (1,−1,0) och v2 = (1,−1,1) i E3 Den som blivit godkänd på KS X, 1≤ X≤3, hoppar över motsvarande uppgift nedan och får full poäng på uppgiften. Är man godkänd på KS X, så skall motsvarande tal X inte räknas om. 3-poängsuppgifter 1. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn u = 1 2 3! # # $ % & & på planet 2x + y - z = 0. 2 Bestäm matrisen för den linjära avbildning F i rummet som definieras av att u först projiceras på det plan genom origo som har normalen (1,2,5) och sedan vrids ett halvt varv kring normalen till planet (x,y,z) = s(1,0,0)+t(1,1,1). Martin. Svar: Vi bestämmer först matrisen för projektionen . Bad Mothers del 1. Seriestart Bestäm matrisen A för den linjära avbildning från !3 till !3 som projicerar en godtycklig vektor ! u!! 0 i !3 vinkelrätt på linjen (x,y,z)=t(1,!1,1)t. Ange även bilden av vektorn ! u=3!4!5 t. Tips. Sök den ortogonala projektionen av ! u!! 0 på linjen. 7. Visa att om en symmetrisk, A satisfierar A2 = 0, så är A = 0. Tips. Jämför med. 73. Vilken är den geometriska innebörden av den linjära avbildning i planet som har matrisen 2 0 0 2? 74. Hur går man till väga för att bestämma matrisen för en projektion på ett plan, för en spegling i ett plan, och för en rotation kring z-axeln? 75. Karakterisera matrisen för en isometrisk linjär avbildning. Bevis? 76
Den 24-årige Carl Friedrich Gauss kunde dock beräkna elliptiska banor utifrån tre olika observationer. Med tillgång till betydligt fler spårpunkter, använde han sin minstakvadratmetod för att öka noggrannheten M⊥ Ortogonala komplementet till M. PU Ortogonala projektionen p˚a underrummet U. Tvu Matrisen f¨or koordinatbytet fr˚an utill v (d v s den matris Tsom uppfyller [x]v = T[x]u). Eλ(F) Egenrummet till Fmed egenv¨arde λ. sign(q) Signaturen av den kvadratiska formen q. c 2009 Erik Darp¨o, Matematiska Institutionen, Uppsala Universitet Detta sammanställs kolonnvis till matrisekvationen A Anvisning: Väljer man vektorn u som den ortogonala projektionen av y p där B är matrisen i svaret ovan. 6. Svar: Den sökte avbildningsmatrisen är A=I.
Den kanoniska inre produkten. Den inre produkten B = I med matrisen A B = Enhetsmatrisen intar en särställning. Med den ges den inre produkten av B(u,v) = ∑ i u i v j Normen ges då av ║u║ = (∑ u i 2) 1/2 Låt samtidigt koordinaterna u i för vektorerna vara givna för en bas av inbördes ortogonala basvektorer med längden 1 (kallad en ortonormerad bas) Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn x2 på delrummet P 1 av polynom av grad högst 1. 5. De niera begreppet singulärt ärdev till en matris A. Visa att de singulära ärdenav till en godtycklig matris är icke-negativa. Kan talet 0 förekomma bland de singulära ärdena?v 6. Låt V avra ett ändligtdimensionellt komplext vektorrum. känna till begreppen bas och koordinater, samt kunna använda ortogonala matriser för basbyten. kunna bestämma egenvärden och egenvektorer. kunna diagonalisera symmetriska matriser och tillämpa detta på kvadratiska former. kunna använda minsta kvadrat-metoden och känna till den geometriska tolkningen. Kursinnehåll Följande behandlas i. Hur man beräknar potenser av kvadratiska matriser Om matrisen råkar vara diagonal () L M Om matrisen inte råkar vara diagonal Vi hoppas att det finns en egenbas till . Låt vara basbytesmatrisen och vara (den dia-gonala) matrisen i egenbasen. Då är så att och ⏟ ⏞ fakt re
Nya Pluggakuten lanserades den 6 februari 2017 och du finner forumet på www.pluggakuten.se. På gamla.pluggakuten.se kan du fortfarande läsa frågorna och svaren som ställts, men du kan inte skapa ett nytt konto eller nya trådar. Är du redan medlem kan du däremot fortfarande logga in och svara i befintliga trådar Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel
Lesson 6 Matriser. v så blir projektionen av två vinkelräta vektorer nollvektorn $$\vec{0}. s 21 Omu oche är vektorer medkek=1 så är den ortogonala projektionen avu påe u0 = Inversen A 1 till A kan beräknas med hjälp av Sats 2.5 sid. 57, genom att lösa ut X u ; Parallell (matematik) - Wikipedi Minstakvadratmetoden (även minsta-kvadrat-metoden eller minsta kvadrat-metoden) används bland annat vid regressionsanalys för att minimera felet i en funktion som ska anpassas utifrån observerade värden. Exempel på tillämpningar är Utifrån gjorda folkräkningar vill man förutsäga befolkningsökningen i ett område genom att göra folkmängden till en funktion av tiden (Matris)multiplikation mellan vektorer och matriser. Fortsättningsvis skall vi uppfatta vektorer som specialfall av matriser. Det blir då viktigt att hålla reda på vad som är rad- respektive kolumnvektorer. Om en radvektor med n komponenter ses som en (1,p)-matris, förstår man att den kan matrismultipliceras med en (p,n)-matris
Uppgift 2. (1p) Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn . a =(1,1, 2) på vektorn b =(−1,2,2) dvs beräkna proj (a) b . Uppgift 3. (2p) Lös olikheten . 3 2 5 2 1 3 1 1 2 0 < x. Lycka till. Sida 1 av I denna sats hittar vi även ledtråden till hur vi beräknar den ortogonala matrisen P: matrisen har nämligen en ortonormal uppsättning egenvektorer, och en diagonaliserande matris har ju egenvektorerna som kolonner och eftersom nu dessa är ortonormala så blir P ortogonal Den är i sin grundläggande form begränsad till plana, konjugerade kolväten, så som bensen eller karoten (AJ 137-141, 153-155), och beskriver (-orbitaler, dvs de molekylorbitaler som kan kombineras av C2p-orbitalerna som sticker vinkelrät ut ur molekylens plan
- tolka matriser som linjära avbildningar från Rn till Rm, kunna bestämma nollrum och värderum till linjära avbildningar, kunna definiera rotationer, speglingar och ortogonala projektioner i planet och i rummet, samt kunna bestämma sådana avbildningars matrise Ortogonal projektion på plan. Uppgift: Bestäm matrisen för den ortogonala projektionen på planet 2x+4y+3z=0. För att börja själv har jag tagit fram normalen från planets ekvation: n=(2,4,3). Några tips på hur jag kan ta mig vidare På tegningen ovenfor var projektionen en forkortelse af vektor b. Men sådan behøver det ikke at være Bestäm ortogonala projektionen i xy-planet av skärningskurvan mellan ytorna 3x2 + 4y2 24x z = 0 och x2 +3y +2y z = 1. Svar: (x 1)2 + 1 2 (y 1) 2 = 1. Lektion 2. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter Anvisningar till vissa uppgifter.) 1. Svar: En ekvation för planet är 3x+2y+4z (−4,−1,9). Anvisning: Väljer man vektorn u som den ortogonala projektionen av y p där B är matrisen i svaret ovan. 6. Svar: Den sökte avbildningsmatrisen är A=I. matris). Man kan visa att detta krav är uppfyllt för en symmetrisk matris. En symmetrisk matris är alltid diagonaliserbar. Dessutom kan vi välja ortonormerade egenvektorer. Här följer några satser om diagonaliserbarhet av symetriska matriser. Sats 1 . (Egenvärden till symetriska matriser) För en symetrisk matris A gäller följande
Vi beräknar A 1. 1 Matrisen för den avbildning som först roterar planets vektorer vinkeln i negativ led och sedan speglar planets vektorer i linjen blir: ¸¸ ¹ Den ortogonala projektionen L p av linjen L går genom och har en riktningsvektor som är parallell med där N är tvärkrökningsradien och e är den första excentriciteten. Omräkning av sfäriska koordinater till koordinater i Mercator projektionen (N, E): 7.2 Minsta-kvadratutjämning med matriser Inversen till en 2*2-matris B beräknas enligt: 1 11 12 22 1 32. Best am xs a att f oljande matris f ar s a liten rang som m ojligt 0 B B @ 5 1 3 x 15 10 35 5 6 4 14 x 15 3 9 6 1 C C A: 33. Ange matrisen f or den linj ara avbildning p a P 3 som ges av F(p(t)) = p00(t)+p0(t)+p(t) i standard-basen f1;t;t2g. 34. Best am matrisen f or den linj ara avbildning R4!R4 som utg ors av den ortogonala projektionen p är ortogonala, de har dock inte lgd 1. Vänta dock med det tills vi har tre ortogonala vektorer. Vi kan tex få en tredje vektor ortogonal mot de två första (som vi behöver eftersom baser för R3 har tre vektorer) genom att beräkna vektorprodukten av dessa. Detta ger en tredje vektor 2 4 2 2 2 3 5ortogonal mot de två första. Genom att. Dessa ger två transformationsmatriser vilka man kan beräkna till en matris genom att multiplicera ihop de båda. XYZ fixa vinklar och XYZ Euler vinklar. Ett objekt kan roteras runt antingen x, y eller z-axeln. Rotationen namnges olika beroende på vilken axel som den roteras runt
1.13 beräkna determinanter, och känna till räknereglerna för dem, 1.14 beräkna egenvärden och egenvektorer, 1.15 diagonalisera matriser och känna till när det är möjligt, 1.16 lösa diskreta dynamiska system med hjälp av variabelbyten, 1.17 beräkna längden av vektorer, och vinkeln mellan vektorer, 1.18 beräkna ortogonala projektioner I är detta lätt att verifiera, men vi låter definitionen gälla i , där det i och för sig kan te sig icke-intuitivt med några regelrätta vinklar mellan vektorer. definitionen kommer framförallt hjälpa oss att avgöra huruvida vektorer är ortogonala mot varandra. hädanefter säger vi att om skalärprodukten mellan två vektorer är 0 (noll), är de vektorerna då ortogonala mot. Proposition 5.23 Egenvektorer till olika egenvarden till en sj¨ ¨arlvadjungerad operator ¨ar ortogonala, Sats 8.14. Innehall (dvs mening/betydelse) och formulering av f˚ oljande Satser:¨ Dimensionssatsen (ocks˚a kallas Rangssatsen/Rank theorem, se Lay, Lin-ear Algebra, Chapt 5), Sats 2.17 Start Forskningsoutput Numerical Modelling and Analysis of Orthogonal Metal Cutting vara en vektor vinkelrät mot planet . Bestäm den vinkelräta (ortogonala) projektionen av . F på . n . b) (2 poäng) Vektorn . Fq = +(3,1, 1) delas i två komposanter där en av de är vinkelrät mot planet och den andra komposanten är parallell med planet . x y z − +=2 20 . Bestäm den : komposant av kraften som är parallell med planet
Bevis av sats 3 Låt matrisen för T vara Antag först att T är konform. Då är och ortogonala, vilket ger att kolonnerna i matrisen för T är ortogonala. Men även och måst ; Världen avbildad med Mercators projektion tillsammans med punkter som visar den ökande förvrängningen mot polerna Uppgifter till kurs: Geometriska analys och designmetoder för olinjära system Erik Frisk 2 juni 2010 rummet av alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna i A. Uppgift 3. Använd algoritmen från a-uppgiften för att beräkna det största under-rummet V som är A-invariant och V ⊆ ker C känna till linjens och planets ekvationer samt kunna använda dessa för att beräkna skärningar och avstånd; veta vad som menas med rotationer, speglingar och ortogonala projektioner i planet och i rummet samt kunna beräkna sådana avbildningars matriser; kunna tolka en m×n-matris som en linjär avbildning från R n till R m 14. Anpassa f x kx2 till y x, x ß 0, 1 med kontinuerlig minsta kvadratmetod. (1p) Lösningsförslag: Vi får cMKM 0 1 kx2 x 2 dx k2 5 k 2 1 3 Sök sedan det k som minimerar integralen. D cMKM,k ý0 Solve First 2 k 5 1 2 Á0 k µ 5 4 Rätt svarsalternativ: c a k µ11 9 b k µ8 7 c k µ5 4 d k µ6 5 e Inget av a till d. 15. I matrisen n*n är aij min i, j , för alla i, j Definition: Matrisen A har egenvektorn u 6= 0 med egenv¨ardet λ om Au = λu Egenv¨ardena λ k best¨ams som l ¨osningarna till den karakteristiska ekvationen det( A−λI) = 0 Egenvektorerna u k best¨ams ur det homogena systemet ( A−λI)u = 0 Diagonalisering Om n×n-matrisen A har n st linj¨art oberoende egenvektorer u1,...,u n med motsva
Elementen i en matris kan vara godtyckliga objekt men här begränsar vi oss till matriser Den så erhållna matrisen AT kallas A:s transponat . Transpose vector or matrix - MATLAB transpose . Transponat är en typ av operation där man ändrar en matris dimensioner genom att flytta runt dess element Bestäm för alla värden på a antalet lösningar till ekvationssystemet (1.0) ° ¯ ° ® 4 4 2 2 2 1 2 x ay z x y z ax y z 6. Punkten P ligger i riktningen w (2, 1,0) från punkten (1.0) A :( 1,1,0) så att avståndet mellan P och A är 3w. Linjen går genom punkten och har riktningsvektorn v (2,1,1). Bestäm den ortogonala projektionen. Bestäm P:s ortogonala projektion på planetΠ. (3p) 4. a) Illustrera med hjälp av enhetscirkeln sambanden π− =sin( ) sin x x och π− =−cos( ) cos x x. (2p) b) Bestäm alla lösningar till ekvationen 2cos 3 2 = sin x x . (4p) 5. a) Bestäm definitionsmängden till funktionen 2 2 1 + − = x x (f x) ln . (3p) b) Lös ekvationen 2 1 3 1 2.
2016 Repetitionsuppgifter 2016 Lösningsskisser för repetitionsuppgifterna 2017 Repetitionsuppgifter Lösningsskisser för besvärligare repetitionsuppgifter Ortogonal projektion i funktionsrum med Matlab Tenta 16 Mars 2018, sva Alla ortogonala matriser är kvadratiska. Genom att utnyttja formella Taylorserier kan ytterligare operationer göras på kvadratiska matriser. På så vis kan till exempel \({\displaystyle e^{M}}\) definieras, givet vissa villkor på elementen i matrisen för att garantera konvergens
Claes Algström, ITN Linköpings Universitet claes.algstrom@liu.se Kontrollskrivning KTR1 i Linjär Algebra TNIU75 för BI2, SL2, FTL2 2015-09-25 kl. 14.00-16.0 Best¨am matrisen f ¨or projektionen av rummet vinkelr ¨at mot den r ¨ata linjen (x,y,z) = t(1,2,−2)t (ON-bas). L¨osning: a) Projektionsformeln b) P ¨ar linj¨ar Figur 16.17. L v u P(u) = u //v v 1 v 2 O L˚at v = e 1 2 −2 vara riktningsvektorn hos linjen och l˚at u = e a b Vi f˚ar samma avbildningsmatris A som ovan. 16.3 Projektion och Spegling 171 Exempel 16.21
Skriv funktionen dct_basis()som beräknar DCT'ns basvektormatris av ordningen m, enligt prototypen. 2Detta förhållande gäller för alla ortogonala matriser, dvs matriser där kolumnernas ibördes skalärprodukter alla är noll. 2 (5) DT1130 Spektrala transformer • Höstterminen 2009 Jonas Besko Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man applicerar en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden. Kan motsvarande göras i tre dimensioner? 5. Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris
Koefficienten i kombinationen beräknas så att successiva sökriktningen blir -ortogonala, dvs så att (20) Vi får alltså (21) Man kan visa att detta sätt att välja leder till att alla sökriktningar blir -ortogonala: (22) En följd av detta är att residualerna blir ortogonala mot alla tidigare sökriktningar (23 Använd sökfunktionen för att leta efter kurser och program i Chalmers utbildningsutbud. Den programplan och utbildningsplan som avser dina studier är i allmänhet från det läsår du började dina studier. Sök kurs och kursplane
Comments . Transcription . Instuderingsfrågor i Linjär algebr Ortogonala vektorer:Två vektorer u¯ och ¯v kallas ortogonalaom skalärprodukten är noll, dvsu¯ ·¯v = 0.Skrivsoftau¯ ⊥¯v.Tänkvinkelrätadå 0 = ¯u·¯v = |u¯||v¯|cosα ⇒α= π 2 (+kπ), om ¯u, ¯v 6=¯0. (ortogonal)Projektion:Projektionenavenvektoru¯ påenvektorv¯ ärentredjevektorw¯ parallellmedv¯:w¯ = λ¯v,där λ= u.
